Ibercaja Obra Social y Cultural
El camino más corto
 
Enigma de Abril 2003

Atravesando un parque te encuentras con un cruce de caminos parecido al de la figura. Tu objetivo es llegar al punto B partiendo de A siguiendo el camino más corto. Para ello puedes ir por el recorrido marcado en color rojo o bien por el azul, pero no sabes cuál de ellos es el más corto.

Nivel 1: Para saber qué camino es el más corto, basta con saber la fórmula de la longitud de la circunferencia:

L = 2·p·r

 
y que los arcos de nuestro problema son una cuarta parte de una circunferencia. Por tanto tenemos que:
 
El camino rojo mide L = 2 · 3,14 · 17,5 / 4 = 27,48 metros
El camino azul mide L = (2 · 3,14 · 7,5 / 4) + 10 + 10 = 31,78 metros

Nivel 2: El objetivo es demostrar que el camino rojo siempre es el más corto aunque las distancias varíen. Consideraremos que R es el radio grande, r el radio pequeño y d la longitud de cada uno de los tramos rectos. Lo que queremos demostrar es que:
 
L(rojo) < L(azul)
p·R/4 < p·r/4 + 2·d

Usando la relación   R = r + d

p·(r + d)/2 < p·r/2 + 2·d
p·d/2 < 2·d

p/2

<

2

Nivel 3: Existe un ángulo distinto de 90º a partir del cual el camino rojo deja de ser el más corto. Llamando q al ángulo de los arcos y usando la fórmula para la longitud de un arco  L = q·r tenemos que:

q·R > q·r + 2·d
q·(r + d) > q·r + 2·d
q·d > q·d
q > 2 radianes